Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC，F为BB₁上一点，BF=BC=2，FB₁=1，D为BC中点，E为线段AD上不同于点A、D的任意一点．
（Ⅰ）证明：EF⊥FC₁；
（Ⅱ）若AB=

2

，求DF与平面FA₁C₁所成的角．

Answer 1

分析：（1）要证C₁F⊥EF，只需证明C₁F⊥平面DEF，由AB=AC，D为BC的中点可得AD⊥BC，由BB₁⊥平面ABC  可得BB₁⊥AD，由AD⊥平面B₁BCC₁  可得AD⊥FC₁，然后根据已知可证C₁F⊥FD，根据线面垂直的判定定理
可得
（2）设DF与平面FA₁C₁所成的角为θ，点D到FA₁C₁的距离为h，利用等体积法可求h，由sinθ=

h

DF

可求

解答：解：（1）AB=AC，D为BC的中点∴AD⊥BC
∵BB₁⊥平面ABC∴BB₁⊥AD
∴AD⊥平面B₁BCC₁∴AD⊥FC₁
∵BC=BF=2∴DB=1，又 FB₁=1
∴Rt△DBF∽Rt△FB₁C₁∴∠DFB+∠C1FB1=

π

2

，∠DFC1=

π

2

∴C₁F⊥FD∵FD∩AD=D
∴C₁F⊥平面DEF∴C₁F⊥EF
（2）设点D到FA₁C₁的距离为h
由（1）知C₁F⊥FD
用等体积法可知

1

3

×

1

2

×C1A1×A1F•h=

1

3

×

1

2

×AD×DF×FC1
∴

3

×

2

h=1×

5

×

5

∴h=

5 6

6

设DF与平面FA₁C₁所成的角为θ
则sinθ=

h

DF

=

30

6

∴DF与平面FA₁C₁所成的角arcsin

30

6

点评：本题主要考查了线线垂直与线面垂直的相互转换的应用，而（2）问的求解主要是利用了等体积法求解点到面的距离，这是求解距离的常用方法，避免了做垂线的难点，求而不作．