Question

【题目】设，函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若无零点，求a的取值范围；

（3）若有两个相异零点、，求证：.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)见证明

【解析】

（1）先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果，（2）先求导数，再根据导函数零点讨论函数单调性，根据单调性确定函数最大值，最后根据最大值小于零得结果.（3）根据零点解得，化简欲证不等式，再令，构造关于t的函数，利用导数证不等式.

解：（1）当时，，所以.

，

则切线方程为，即

（2）①当时，有唯一零点；

②当时，则，是区间上的增函数，

因为，，

所以，即函数在区间有唯一零点；

③当时，令得，

所以，当时，，函数在区间上是增函数；

且；

当时，，函数是在上是减函数，

且；

所以在区间上，函数的极大值为，

由，即，解得，

故所求实数的取值范围是.

（3）设，由，，可得，，. 所以

要证，只需证,

即证，即.

令，于是，

设函数，求导得，

所以函数是上的增函数，

所以，即不等式成立，

故所证不等式成立.