Question

（2012•静安区一模）已知2+ai，b+i（其中a，b∈R）是实系数一元二次方程x²+px+q=0的两个根．
（1）求a，b，p，q的值；
（2）计算：

a+bi

p+qi

．

Answer 1

分析：（1）由于实系数一元二次方程x²+px+q=0仍然满足韦达定理（一元二次方程根与系数的关系），我们易根据2+ai，b+i是实系数一元二次方程x²+px+q=0在复数范围内的两个根，构造关于p，q的方程，解方程即可求出a，b，p，q的值．
（2）根据a，b，p，q的值，利用复数的乘除运算法则，能够计算

a+bi

p+qi

的值．

解答：解：（1）∵2+ai，b+i（其中a，b∈R）是实系数一元二次方程x²+px+q=0的两个根，
∴

2+ai+b+i=-p (2+ai)(b+i)=q

，
即

(2+b)+(a+1)i=-p (2b-a)+(ab+2)i=q

，
∴

a+1=0 ab+2=0

，
解得a=-1，b=2，
∴p=-4，q=5，
故b=2，a=-1，p=-4，q=5．（每一个值2分）…（8分）
（2）∵b=2，a=-1，p=-4，q=5，
∴

a+bi

p+qi

=

-1+2i

-4+5i

=

(-1+2i)(-4-5i)

16+25

=

14-3i

41

．…（6分）

点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，复数的基本概念，其中根据实系数一元二次方程仍然满足韦达定理（一元二次方程根与系数的关系），结合已知条件构造关于p，q的方程，是解答本题的关键．