Question

已知离心率为的椭圆过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知与圆相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A、B，O为坐标原点，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据离心率为的椭圆过点，建立方程，确定几何量的值，即可得到椭圆C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当直线l的斜率不存在时，l：x=，此时=
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m由l于圆相切得3m²-8k²-8=0，将l代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的数量积公式，即可求得结论．
解答：解：（1）∵离心率为的椭圆过点．
∴，
∴a²=8，b²=4
∴椭圆C的方程为；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当直线l的斜率不存在时，l：x=，此时x₁=x₂=，y₁=-y₂，
∴=
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m
由l于圆相切得：
∴3m²-8k²-8=0
将l代入椭圆方程可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
∴x₁+x₂=-，
∴=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²==0
综上，=0
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，联立方程，利用韦达定理解题是关键．