Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，，，M、N分别是AB、SB的中点；
（1）证明：平面SAC⊥平面ABC；
（2）求直线MN与平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：取AC中点D，连SD，BD，
∵SA=SC，∴SD⊥AC
∵△ABC是边长为4的正三角形，，，
∴，
∴SD⊥BD
∵AC∩BD=D
∴SD⊥平面ABC
∵SD?平面SAC
∴平面SAC⊥平面ABC；..（6分）
（2）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DS为z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（-2，0，0），，，，
∴，，
设平面SCB的法向量为，则有，
令x=1，得到…．…..（8分）
设直线MN与平面SBC所成角为θ，则…..（12分）
分析：（1）取AC中点D，连SD，BD，证明SD⊥平面ABC，利用面面垂直的判定，可得平面SAC⊥平面ABC；
（2）建立坐标系，求出平面SCB的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线MN与平面SBC所成角的正弦值．
点评：本题以三棱锥为载体，考查线面垂直，面面垂直，考查线面角，考查向量知识的运用，属于中档题．