题目内容

已知向量
a
=(sinx，
3
2
)，
b
=（cosx，-1）．
（1）当
a
∥
b
时，求cos2x-sin2x的值；
（2）设x1，x2为函数f(x)=-
2
4
+(
a
+ 
b
)• 
b
的两个零点，求|x1-x2|的最小值．
分析：（1）根据
a
∥
b
，得到
3
2
cosx+sinx=0，确定出tanx的值，化简所求函数，求出其值．
（2）利用f(x)=-
2
4
+(
a
+
b
)•
b
=
2
2
sin(2x+
π
4
)-
2
4
=0，确定出两个根，然后再求|x1-x2|及其最小值．
解答：解：（1）由
a
∥
b
得：
3
2
cosx+sinx=0，
若cosx=0，则sinx=±1，不合题意．
则tanx=-
3
2
．
因此cos2x-sin2x=
cos2x-2sinxcosx
sin2x+cos2x
=
1-2tanx
tan2x+1
=
16
13
．

（2）f(x)=-
2
4
+(
a
+
b
)•
b
=(sinx+cosx，
1
2
)•(cosx，-1)-
2
4
=(sinx+cosx)cosx-
1
2
-
2
4
=
1
2
sin2x+
1
2
cos2x-
2
4
=
2
2
sin(2x+
π
4
)-
2
4
．
依题得sin(2x+
π
4
)=
1
2
，
解得x=k1π-
π
24
或x=k2π+
7π
24
，k1，k2∈Z．
又|x1-x2|=|k2π+
7π
24
-k1π+
π
24
|≥
π
3
，
所以|x1-x2|的最小值为
π
3
．
点评：本题主要是通过向量考查了三角函数，熟练运用向量的知识以及多三角函数进行化简是解决此题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
精英家教网

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网