Question

11．在${（{\sqrt{x}-\frac{1}{x}+1}）^7}$的展开式中，x²的系数为28．

Answer 1

分析 ${（{\sqrt{x}-\frac{1}{x}+1}）^7}$的展开式的通项公式：T_r+1=${∁}_{7}^{r}$$（\sqrt{x}-\frac{1}{x}）^{r}$．$（\sqrt{x}-\frac{1}{x}）^{r}$的通项公式为：T_k+1=（-1）^k${∁}_{r}^{k}$${x}^{\frac{r-3k}{2}}$．令$\frac{r-3k}{2}$=2，即r-3k=4，讨论解出即可得出．

解答 解：${（{\sqrt{x}-\frac{1}{x}+1}）^7}$的展开式的通项公式：T_r+1=${∁}_{7}^{r}$$（\sqrt{x}-\frac{1}{x}）^{r}$．
$（\sqrt{x}-\frac{1}{x}）^{r}$的通项公式为：T_k+1=${∁}_{r}^{k}$$（\sqrt{x}）^{r-k}（-\frac{1}{x}）^{k}$=（-1）^k${∁}_{r}^{k}$${x}^{\frac{r-3k}{2}}$．
令$\frac{r-3k}{2}$=2，即r-3k=4，可得：k=0，r=4；k=1，r=7．
∴x²的系数=${∁}_{4}^{0}$$•{∁}_{7}^{4}$-${∁}_{7}^{1}$${∁}_{7}^{7}$=28．
故答案为：28．

点评 本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．