Question

1．已知函数f（x）=cosx（$\sqrt{3}$sinx-cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到g（x）的图象，且y=g（x）在区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]内的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求m的值；
（2）在锐角△ABC中，若g（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$，求sinA+cosB的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式化简f（x），利用平移规律得出g（x）的解析式，根据最小值列方程求出m；
（2）根据条件求出C，用A表示出B，化简sinA+cosB得出关于A函数，根据A的范围得出正弦函数的性质得出sinA+cosB的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+m-$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+m-$\frac{1}{2}$，
∴g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]+m-$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m-$\frac{1}{2}$，
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$时，g（x）取得最小值$\frac{1}{2}$+m-$\frac{1}{2}$=m，
∴m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）∵g（$\frac{C}{2}$）=sin（C+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$，
∴sin（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C∈（0，$\frac{π}{2}$），∴C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
∴C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，即C=$\frac{π}{6}$．
∴sinA+cosB=sinA+cos（$\frac{5π}{6}$-A）=sinA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{3}{2}$sinA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA
=$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$）．
∵△ABC是锐角三角形，∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{5π}{6}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$，
∴A-$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A-$\frac{π}{6}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$）＜$\frac{3}{2}$．
∴sinA+cosB的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了三角函数恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．