Question

6．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁B₁C₁=90°，且AB=BC=BB₁，E，F分别是AB，CC₁的中点，那么直线A₁C与EF所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A₁C与EF所成的角的余弦值．

解答 解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=BC=BB₁=2，则E（1，0，0），F（0，2，1），
A₁（2，0，2），C（0，2，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-2），$\overrightarrow{EF}$=（-1，2，1），
设直线A₁C与EF所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，$\overrightarrow{EF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{EF}|}$|=|$\frac{2+4-2}{\sqrt{12}•\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直线A₁C与EF所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．