Question

设函数，，（其中e为自然底数）；
（Ⅰ）求y=f（x）-g（x）（x＞0）的最小值；
（Ⅱ）探究是否存在一次函数h（x）=kx+b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）对一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）数列{a_n}中，a₁=1，a_n=g（a_n-1）（n≥2），求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）表示出y=f（x）-g（x），用导数判断其单调性，根据单调性即可求出最小值；
（2）由（Ⅰ）知f（）=g（）=，从而得h（）=，于是h（x）可表示为关于k的一次函数，根据f（x）≥h（x）恒成立可求得k值，从而可求得h（x）表达式，再验证h（x））≥g（x）对一切x＞0恒成立即可；
（3）由（Ⅱ）先证{a_n}递减且＜a_n＜1（n≥2），然后进行放缩：（a_k-a_k+1）•a_k+1＜=，求和利用上述结论即可证明；
解答：解：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）的定义域为{x|x＞0}，y=f（x）-g（x）=，
y′=2x-=，易知0＜x＜时y′＜0，x＞时y′＞0，
所以y=f（x）-g（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，
所以x=时y=f（x）-g（x）取得最小值为0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（）=g（）=，所以h（）=，
所以可设h（x）=kx+-，代入f（x）≥h（x），得-≥0恒成立，
所以△=（k-1）²≤0，所以k=1，h（x）=x，
设G（x）=x-ln（2ex），则G′（x）=1-，
当0＜x＜时G′（x）＜0，当x＞时G′（x）＞0，易知G（x）≥G（）=0，即h（x）≥g（x）对一切x＞0恒成立；
综上，存在h（x）=x符合题目要求，它恰好是y=f（x），y=g（x）图象的公切线．
（Ⅲ） 先证 {a_n}递减且＜a_n＜1（n≥2）；
由（Ⅱ）知g（x）≤x，所以a_n=g（a_n-1）≤a_n-1，即{a_n}为递减数列；
又a₁=1，，所以，…
因为当a_k＞时总有，
所以＜…＜a_n＜a_n-1＜…＜a₁=1；
所以＜==＜=．
点评：本题考查利用导数求函数的最值、函数恒成立及数列与不等式的综合问题，考查学生分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度大，对学生能力要求较高．