Question

设函数f(x)=

1 b x，              x≤0 (x2-2ax)ex， x＞0

在x=1处取得极值（其中e为自然对数的底数）．
（1）求实数a的值；
（2）若函数y=f（x）-m有两个零点，求实数m的取值范围；
（3）设g(x)=

lnx

f(-x)

+b，若?x1∈(0，

3

2

]，?x2∈[

1

e

，e]，使得f（x₁）≥g（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，求出f′（x），根据极值点满足f′（x）=0，列出方程，求解即可得到实数a的值；
（2）根据函数的单调性求出f（x）的值域，要使函数y=f（x）-m有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点，分b＞0和b＜0两种情况分别求出实数m的取值范围，最后取并集即可得到实数m的取值范围；
（3）“?x1∈(0，

3

2

]，?x2∈[

1

e

，e]，使得f（x₁）≥g（x₂）”等价于“f（x₁）_min≥g（x₂）_min”，由（2）可求出f（x₁）在x1∈(0，

3

2

]上的最小值，然后利用分类讨论b求出g（x₂）在x2∈[

1

e

，e]上最小值，即可求出实数b的取值范围．

解答：解（1）∵函数f(x)=

1 b x，              x≤0 (x2-2ax)ex， x＞0

，
∴x＞0时，f（x）=（x²-2ax ）e^x，
∴f′（x）=（x²-2ax ）e^x+（2x-2a）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x，
∵函数f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，即[1+2（1-a）×1-2a]•e¹=0，
∴a=

3

4

；
（2）由（1）可知，a=

3

4

，
∴当x＞0时，f（x）=（x²-

3

2

x）e^x，
∴f′（x）=

1

2

e^x（x-1）（2x+3），
∵当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，f（x）取得极小值f（1）=-

e

2

，
∴f（x）∈[-

e

2

，+∞），
∵函数y=f（x）-m有两个零点，
∴函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点，
①若b＞0时，f（x）在（-∞，0]上单调递增，
∴当m=0或m=-

e

2

时，y=f（x）-m有两个零点；
②若b＜0时，f（x）在（-∞，0]上单调递减，
∴当m＞-

e

2

时，y=f（x）-m有两个零点．
综合①②可得，当b＞0时，实数m的取值范围为m=0或m=-

e

2

，当b＜0时，实数m的取值范围为m＞-

e

2

；
（3）由（2）可知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，

3

2

）上单调递增，
∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=-

e

2

，即f（x₁）在x1∈(0，

3

2

]上的最小值-

e

2

，
∵函数g(x)=

lnx

f(-x)

+b的定义域为（0，+∞），
∴g（x）=

-blnx

x

+b=b（1-

1nx

x

），则g′（x）=

b(lnx-1)

x2

，x∈[

1

e

，e]，
由题意可知b≠0，
①当b＞0时，g′（x）＜0，即g（x₂）在x2∈[

1

e

，e]上单调递减，最小值为g（e）=b（1-

1

e

），
而“?x1∈(0，

3

2

]，?x2∈[

1

e

，e]，使得f（x₁）≥g（x₂）”等价于“f（x₁）_min≥g（x₂）_min”，
则-

e

2

≥b（1-

1

e

），且b＞0，无解，
②当b＜0时，g′（x）＞0，即g（x₂）在x2∈[

1

e

，e]上单调递增，最小值为g（

1

e

）=b（1+e），
而“?x1∈(0，

3

2

]，?x2∈[

1

e

，e]，使得f（x₁）≥g（x₂）”等价于“f（x₁）_min≥g（x₂）_min”，
则-

e

2

≥b（1+e），且b＜0，解得b≤-

e

2(1+e)

，
综上所述：实数b的取值范围是b≤-

e

2(1+e)

．

点评：本题考查函数在某点存在极值的条件，函数的零点，利用导数求函数在闭区间上的最值．解题时要注意运用极值点必定是导函数对应方程的根，而导函数对应方程的根不一定是极值点．利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．属于中档题．