Question

在圆心为O、半径为常数R的半圆板内画内接矩形（如图），当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积．

Answer 1

分析：如图用圆的半径R与图中所示的角（可设出）表示出来，把此矩形的面积表示出来，再用三角函数的相关的公式化简，最后用三角函数的有界性判断最大值在什么情况下取到，求出矩形的最大面积以及矩形的长与宽的大小．

解答：解：设矩形在半圆板直径上的一边长为2x，α角如图所示，
则x=Rcosα，另一边的长为Rsinα，矩形面积S为
S=2R²sinαcosα．
=R²sin2α
当2α=

π

2

即α=

π

4

时，也即长为2Rcos

π

4

=

2

R，
宽为Rsin

π

4

=

2

2

R时，矩形面积最大
最大面积是R²

点评：本题考查用三角函数解决实际问题的最值，这是三角函数的一个重要的运用，请仔细体会本题中函数关系的建立过程．