Question

已知函数f（x）=x²-9x，当x∈[n，n+1]（n∈N^*）时，f（x）所有可能取的整数值有且只有1个，则n=    ．

Answer 1

【答案】分析：根据二次函数的图象与性质结合象的对称轴知f（4）=f（5），欲使f（x）所有可能取的整数值有且只有1个，n只能取4，否则，由于x∈[n，n+1]（n∈N^*）f（x）是单调函数，f（x）所有可能取的整数值至少有2个，不合题意．
解答：解：已知二次函数的图象的对称轴，
则f（4）=f（5），
∵f（x）所有可能取的整数值有且只有1个，则n=4；
当n取其它正整数时，当x∈[n，n+1]（n∈N^*）f（x）是单调函数，
f（x）所有可能取的整数值至少有2个，与题意不符．
故答案为：4．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．