Question

（2013•大连一模）设离心率e=

1

2

的椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是x轴正半轴上一点，以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线x+

3

y+3=0相切，过点P直线椭圆M相交于相异两点A、C．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求Q点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设圆所过短轴端点为N，由|NF₁|=a，∠PNF₁=

π

2

，e=

1

2

，可判断F₂（c，0）是以PF₁为直径的圆的圆心，根据圆和直线相切可得2c=

|c+3|

1+( 3 )2

，据此解得c值，从而得到a，b；
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则点B（x₁，-y₁），设直线PA的方程为y=k（x-3），代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，写出直线BC的方程，令y=0可得点Q的横坐标，代入韦达定理即可求得其值，从而得到点Q的坐标；

解答：解：（Ⅰ）设以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，
∴|NF₁|=a，∠PNF₁=

π

2

，∵e=

1

2

，∴a=2c，
∴∠NF1P=

π

3

，|F₁P|=2a．
∴F₂（c，0）是以PF₁为直径的圆的圆心，
∵该圆和直线x+

3

y+3=0相切，
∴2c=

|c+3|

1+( 3 )2

，
∴c=1，a=2，b=

3

，
∴椭圆M的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则点B（x₁，-y₁），
设直线PA的方程为y=k（x-3），联立方程组

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-3).

，
化简整理得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
由△=（24k²）²-4•（3+4k²）•（36k²-12）＞0得k2＜

3

5

．
则x1+x2=

24k2

4k2+3

，x1x2=

36k2-12

4k2+3

．
直线BC的方程为：y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，则x=

y1x2+y2x1

y1+y2

=

2x1x2-3(x1+x2)

x1+x2-6

=

72k2-24 4k2+3 - 72k2 4k2+3

24k2 4k2+3 -6

=

4

3

，
∴Q点坐标为(

4

3

，0)．

点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查学生对问题的分析解决能力，韦达定理、判别式是常用内容，要牢固掌握．