Question

x₁与x₂分别是实系数方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一个根，且x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0．求证：方程

a

2

x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．

Answer 1

分析：先由x₁与x₂分别是实系数方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一个根，得到关于x₁与x₂的两个等式，再设f（x）=

a

2

x²+bx+c，利用条件推出f（x₁）f（x₂）＜0，即可说明方程

a

2

x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．

解答：证明：由于x₁与x₂分别是方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的根，
所以有

ax12+bx1+c=0 -ax22+bx2+c=0

设f（x）=

a

2

x²+bx+c，
则f（x₁）=

a

2

x₁²+bx₁+c=-

a

2

x₁²，
f（x₂）=

a

2

x₂²+bx₂+c=

3a

2

x₂²，
∴f（x₁）f（x₂）=-

3

4

a²x₁²x₂²
由于x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0，
所以f（x₁）f（x₂）＜0，
因此方程

a

2

x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．

点评：本题考查一元二次方程根的分布问题．在解题过程中用到了零点存在性定理，若想说函数在某个区间上有零点，只要区间两端点值异号即可．