Question

【题目】如图，已知为椭圆： 的右焦点， ， ， 为椭圆的下、上、右三个顶点， 与的面积之比为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）试探究在椭圆上是否存在不同于点， 的一点满足下列条件：点在轴上的投影为， 的中点为，直线交直线于点， 的中点为，且的面积为.若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标.

Answer 1

【答案】(1) .(2)存在满足条件的点，其坐标为.

【解析】试题分析：

（1）由与的面积之比为可得，又，所以，从而，可得椭圆的标准方程。（2）假设存在满足条件的点（），进而， 。可得直线的方程为，进一步可得，根据，可得，从而得到。又点到直线的距离为，由，可得，从而。因此存在点P满足条件。

试题解析：

（1）由已知得.

又，

∴，

∴，

∴椭圆的标准方程为.

（2）假设存在满足条件的点P，设其坐标为（），

则，且.

又，

∴直线的方程为.

∵，∴，

令，得.

又，则，

∴.

直线的方程为，即，

∴点到直线的距离为，

∴，

解得，

又，

∴，

∴存在满足条件的点，其坐标为.