Question

（2007•嘉兴一模）已知点A（4，0），B（1，0），动点P满足

AB

•

AP

=6|

PB

|
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）点Q是轨迹C上一点，过点Q的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点M，若|

MQ

|=2|

QF

|，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积运算及其模的计算公式即可得出；
（II）设Q（x_Q，y_Q），直线l：y=k（x+1），则点M（0，k）．利用向量运算及其相等，点与椭圆的关系即可得出．

解答：解：（Ⅰ）设P(x，y)，则

AB

=(-3，0)，

AP

=(x-4，y)，

PB

=(1-x，-y)．
∵

AB

•

AP

=6|

PB

|，∴-3(x-4)=6

(x-1)2+y2

．
则点P的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设Q（x_Q，y_Q），直线l：y=k（x+1），则点M（0，k）．
当

MQ

=2

QF

时，由于F(-1，0)，M(0，k)，得（x_Q，y_Q-k）=2（-1-x_Q，-y_Q）．
xQ=-

2

3

，yQ=

1

3

k．
又点Q(-

2

3

，

k

3

)在椭圆上，所以

4 9

4

+

k2 9

3

=1．
解得k=±2

6

．
当

MQ

=-2

QF

时，xQ=-2，yQ=-k．
故直线l的斜率是0，或±2

6

．

点评：熟练掌握向量的数量积运算及其模的计算公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到方程组、向量的运算及其相等等是解题的关键．