Question

已知函数，（a为实数）．
（1） 当a=5时，求函数在处的切线方程；
（2） 求在区间（）上的最小值；
（3） 若存在两不等实根，使方程成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）当时, ，当时, ；（3）.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性等性质等基础知识，同时考查分类讨论等综合解题能力.第一问，先将代入，确定的解析式，利用导数求切线的斜率，利用求切点的纵坐标，即可得出切线方程；第二问，先对求导，令，解出单调区间如表格，下面需讨论t的取值范围，分2种情况，当和时判断函数的单调区间，判断最小值；第三问，将问题转化为与两个图像有交点，对函数求导，判断函数的单调性，最小值为，而最大值在和中取得，需作出比较和的大小，来判断出最大值，最后令a在最大值与最小值之间，注意数形结合判断端点处是否符合题意.
试题解析：（1）当时,.                   1分
，故切线的斜率为.               2分
所以切线方程为:,即.                     4分
（2）,                           

	单调递减	极小值(最小值)	单调递增

      6分
①当时,在区间上为增函数,
所以                                        7分
②当时,在区间上为减函数,在区间上为增函数,
所以                                       8分
（3） 由，可得：，        9分
,
令,  .

	单调递减	极小值(最小值)	单调递增

                                                              10分
,, .
.                              11分
实数的取值范围为 .                             12分