题目内容

如图∠A=90°，∠B=α，AH=h，α，h为常数，AH⊥BC于H，∠AHE=∠AHD=x，问当x取何值时，△DEH的面积最大？并求出最大面积．

解：由已知∠EAH= $\text{[math]}$ -α，∠DAH=α，∠HEA=π-x-（ $\text{[math]}$ -α）= $\text{[math]}$ +α-x，同理∠ADH=π-α-x
由正弦定理 $\text{[math]}$ 即EH= $\text{[math]}$
同理可得DH= $\text{[math]}$
∴S= $\text{[math]}$ ×DH×EHsin2x= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×sin2x= $\text{[math]}$ ×h²× $\text{[math]}$ ×sin2x
= $\text{[math]}$ h²×（sin2α- $\text{[math]}$ ）
当sin2x=1时，即当x取 $\text{[math]}$ 时，△DEH的面积最大为 $\text{[math]}$ h²×（sin2α- $\text{[math]}$ ）
答：当x取 $\text{[math]}$ 时，△DEH的面积最大为 $\text{[math]}$ h²×（sin2α- $\text{[math]}$ ）
分析：用正弦定理把，△DEH的面积用h，x，α，表示出来，再根据表达式选择方法求最值．本题需要在两三角形△AEH与△ADH中用正弦定理表示出EH与DH两个边．
点评：本题考查用三角函数的性质求最值，考查了角的变换、正弦定理、三角形的面积公式，本题充分体现了三角函数解题的特点，公式多，变形灵活．