Question

如图∠A=90°，∠B=α，AH=h，α，h为常数，AH⊥BC于H，∠AHE=∠AHD=x，问当x取何值时，△DEH的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析：用正弦定理把，△DEH的面积用h，x，α，表示出来，再根据表达式选择方法求最值．本题需要在两三角形△AEH与△ADH中用正弦定理表示出EH与DH两个边．

解答：解：由已知∠EAH=

π

2

-α，∠DAH=α，∠HEA=π-x-（

π

2

-α）=

π

2

+α-x，同理∠ADH=π-α-x
由正弦定理

h

sin( π 2 +α-x)

=

EH

sin( π 2 -α)

即EH=

hcosα

cos(α-x)

同理可得DH=

hsinα

sin(α+x)

∴S=

1

2

×DH×EHsin2x=

1

2

×

hcosα

cos(α-x)

×

hsinα

sin(α+x)

×sin2x=

1

2

×h²×

1 4 sin2α

sin2α+sin2x 2

×sin2x
=

1

4

h²×（sin2α-

sin 22α

sin2α+sin2x

）
当sin2x=1时，即当x取

π

4

时，△DEH的面积最大为

1

4

h²×（sin2α-

sin 22α

sin2α+1

）
答：当x取

π

4

时，△DEH的面积最大为

1

4

h²×（sin2α-

sin 22α

sin2α+1

）

点评：本题考查用三角函数的性质求最值，考查了角的变换、正弦定理、三角形的面积公式，本题充分体现了三角函数解题的特点，公式多，变形灵活．