Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和为S_n，T_n=S_2n-S_n．
（1）求证：数列为等差数列，并求通项b_n；
（2）求证：T_n+1＞T_n；
（3）求证：当n≥2时，．

Answer 1

【答案】分析：（1）将b_n=a_n-1代入2a_n=1+a_na_n+1，可得b_n的递推关系式，整理变形可得，由等差数列的定义可得为等差数列，故可求其通项公式，进而求出b_n．
（2）结合（1）中的结论，写出T_n+1-T_n的表达式，利用放缩法证明该差大于0即可．
（3）利用叠加法把转化为++…+T₂+T₁+S₁的形式，再结合（2）中的结论，利用T_n的单调性证明不等式．
解答：解：（1）由b_n=a_n-1，得a_n=b_n+1，代入2a_n=1+a_na_n+1，
得2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
∴b_nb_n+1+b_n+1-b_n=0，从而有，
∵b₁=a₁-1=2-1=1，
∴是首项为1，公差为1的等差数列，
∴，即；（5分）
（2）∵，
∴，
，，
∴T_n+1＞T_n；（10分）
（3）∵n≥2，
∴
=++…+T₂+T₁+S₁．
由（2）知≥≥…≥T₂≥T₁≥S₁，
∵，
∴=++…+T₂+T₁+S₁
≥（n-1）T₂+T₁+S₁==．（16分）
点评：本题考查了数列和不等式的综合应用，应用了构造法、放缩法、叠加法等数学思想方法，难度较大．