Question

三个平面两两相交得三条直线,求证:这三条直线相交于一点或两两平行.

Answer 1

已知:平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c.

求证:a、b、c相交于同一点或a∥b∥c.

证明:∵α∩β=a,β∩γ=b,

∴a、bβ.

∴a与b的位置关系只有相交或平行两种情况.

(1)a与b相交时,设a∩b=P,则P∈a,P∈b.

∵aα,bγ,∴P∈α,P∈γ.

∴P为α和γ的公共点.

又∵α∩γ=c,∴P∈c.

∴a、b、c相交于同一点P.

(2)a∥b时,∵α∩γ=c,aα,aγ,

∴a∥c.

∴a∥b∥c.

故a、b、c两两平行.

由(1)(2)知a、b、c相交于一点或两两平行.

小结:本题的结论说明三个两两相交的平面,它们的三条交线如果有两条相交于一点,那么这三条相交于一点,如果有两条平行,那么这三条之间互相平行.