Question

设函数f（x）=kx²+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=a^f（x）-1（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求g（x）在[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）当a=

2

时，g（x）≤t²-2mt+1对所有的x∈[-1，1]及m∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数是奇函数，建立方程，即可求k的值；
（Ⅱ）对a分类讨论，确定函数的单调性，即可求g（x）在[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）当a=

2

时，g（x）≤t²-2mt+1对所有的x∈[-1，1]及m∈[-1，1]恒成立，等价于1≤t²-2mt+1在[-1，1]上恒成立，构建新函数，即可求实数t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由f（-x）=-f（x）得 kx²-2x=-kx²-2x，
∴k=0．（2分）
（Ⅱ）∵g（x）=a^f（x）-1=a^2x-1=（a²）^x-1（13分）
①当a²＞1，即a＞1时，g（x）=（a²）^x-1在[-1，2]上为增函数，∴g（x）最大值为g（2）=a⁴-1．（5分）
②当a²＜1，即0＜a＜1时，∴g（x）=（a²）^x在[-1，2]上为减函数，
∴g（x）最大值为g(-1)=

1

a2

-1．（7分）
∴g(x)max=

a4-1 ，  a＞1 1 a2 -1 ， 0＜a＜1

（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得g（x）在x∈[-1，1]上的最大值为g(1)=(

2

)2-1=1，
∴1≤t²-2mt+1即t²-2mt≥0在[-1，1]上恒成立（10分）
令h（m）=-2mt+t²，∴

h(-1)=t2+2t≥0 h(1)=t2-2t≥0

即

t≤-2或t≥0 t≤0或t≥2.

所以t∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．（14分）

点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．