Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）

【解析】

（1）分两种情况讨论导数的符号后可得函数的单调区间.

（2）根据（1）可知且，后者可得实数的取值范围为，再根据，结合零点存在定理可知当时函数确有两个不同的零点.

（1）解：因为，

①当时，总有，

所以在上单调递减.

②当时，令，解得.

故时，，所以在上单调递增.

同理时，有，所以在上单调递减.

（2）由（1）知当时，单调递减，

所以函数至多有一个零点，不符合已知条件，

由（1）知当时，，

所以当时，解得，从而.

又时，有，因为，，

令，则，

所以在为增函数，故，

所以，根据零点存在定理可知：

在内有一个零点，在内有一个零点，

故当函数有个零点时，的取值范围为.