Question

20．已知函数f（x）=x³+ax²-6x+b（b＞0）在x=2处取得极值．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有两个零点，求f（x）在x=1处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由题意可得f′（2）=0，解方程可得a，再由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）由f（x）的单调区间，可得f（-1）为极大值b+$\frac{7}{2}$，f（2）为极小值b-10，由b＞0且f（x）有两个零点，可得b=10，求得f（x）在x=1处切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．

解答 解：（1）函数f（x）=x³+ax²-6x+b（b＞0）的导数为
f′（x）=3x²+2ax-6，
由f（x）在x=2处取得极值，
可得f′（2）=12+4a-6=0，
解得a=-$\frac{3}{2}$，
即有f′（x）=3x²-3x-6，
由f′（x）＞0，可得x＞2或x＜-1；
由f′（x）＜0，可得-1＜x＜2．
则f（x）的增区间为（-∞，-1），（2，+∞）；减区间为（-1，2）；
（2）由f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²-6x+b（b＞0），
由f（x）的增区间为（-∞，-1），（2，+∞）；减区间为（-1，2），
可得f（-1）为极大值b+$\frac{7}{2}$，f（2）为极小值b-10，
由f（x）有两个零点，可得b-10=0，
即b=10，
f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²-6x+10的导数为f′（x）=3x²-3x-6，
可得f（x）在x=1处的切线斜率为-6，
切点为（1，$\frac{7}{2}$），
则f（x）在x=1处的切线方程为y-$\frac{7}{2}$=-6（x-1），
即为12x+2y-19=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．