Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间;

（Ⅱ）当时，证明：对任意的.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导函数，对参数a进行分类讨论，得出导函数的正负，判断原函数的单调性；（Ⅱ）整理不等式得ex-lnx-2＞0，构造函数h（x）=ex-lnx-2，则可知函数h'（x）在（0，+∞）单调递增， 所以方程h'（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即得出函数的最小值为h(x)min＝h(x0)＝ex0lnx02＝即ex﹣lnx﹣2＞0在（0，+∞）上恒成立，即原不等式成立.

试题解析：

解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），

由已知得．

当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．

当a＞0时，由f'（x）＞0，得，由f'（x）＜0，得，

所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．

综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；

当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．

（Ⅱ）证明：当a=1时，不等式f（x）+ex＞x2+x+2可变为ex﹣lnx﹣2＞0，令h（x）=ex﹣lnx﹣2，则，可知函数h'（x）在（0，+∞）单调递增，

而，

所以方程h'（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即．

当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减；

当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增； 所以．

即ex﹣lnx﹣2＞0在（0，+∞）上恒成立，

所以对任意x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2成立．