Question

设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且

f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表达式；

（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.

（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.

Answer 1

解析：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f′（x）=2ax+b，

又已知f′（x）=2x+2

∴a=1，b=2.

∴f（x）=x²+2x+c

又方程f（x）=0有两个相等实根，

∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.

故f（x）=x²+2x+1.

（2）依题意，有所求面积=.

（3）依题意，有，

∴，－t³+t²－t+=t³－t²+t，2t³－6t²+6t－1=0，

∴2（t－1）³=－1，于是t=1－.

评述：本题考查导数和积分的基本概念.