题目内容
在直角坐标系中，已知A（3，0），B（0，3），C（cosθ，sinθ）．
（1）若θ锐角，且sinθ=
，求
•
；（2）若
⊥
，求sin2θ．
（1）若θ锐角，且sinθ=
| 3 |
| 5 |
| CA |
| CB |
| CA |
| CB |
分析：（1）由θ为锐角及sinθ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ的值，确定出C的坐标，再由A和B的坐标表示出向量
和
，利用平面向量的数量积运算法则即可求出
•
的值；
（2）由A，B及C的坐标分别表示出
和
，由
⊥
，得到两向量的数量积为0，故利用平面向量的数量积运算法则表示出
•
，让其值等于0，整理后两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2θ的值．
| CA |
| CB |
| CA |
| CB |
（2）由A，B及C的坐标分别表示出
| CA |
| CB |
| CA |
| CB |
| CA |
| CB |
解答：解：（1）∵θ锐角，且sinθ=
，
∴cosθ=
=
，…（1分），
∴C（
，
），又A（3，0），B（0，3），
∴
=（
，-
），
=（-
，
），…（3分）
则
•
=
×（-
）+（-
）×
=-
；…（6分）
（2）∵A（3，0），B（0，3），C（cosθ，sinθ），
∴
=（3-cosθ，-sinθ），
=（-cosθ，3-sinθ），…（7分）
由
⊥
，得
•
=（3-cosθ）×（-cosθ）+（-sinθ）×（3-sinθ）=0，…（8分）
即3sinθ+3cosθ-1=0，整理得：sinθ+cosθ=
，…（9分）
两边平方，得sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=
，…（10分）
即1+sin2θ=
，
则sin2θ=-
．…（12分）
| 3 |
| 5 |
∴cosθ=
| 1-sin2θ |
| 4 |
| 5 |
∴C（
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴
| CA |
| 11 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| CB |
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
则
| CA |
| CB |
| 11 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
（2）∵A（3，0），B（0，3），C（cosθ，sinθ），
∴
| CA |
| CB |
由
| CA |
| CB |
| CA |
| CB |
即3sinθ+3cosθ-1=0，整理得：sinθ+cosθ=
| 1 |
| 3 |
两边平方，得sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=
| 1 |
| 9 |
即1+sin2θ=
| 1 |
| 9 |
则sin2θ=-
| 8 |
| 9 |
点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，平面向量的数量积运算法则，以及数量积判断两向量的垂直关系，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
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