题目内容

某化工企业生产某种化工原料，在生产过程中对周边环境将造成一定程度的污染，过去没有采取任何治理污染的措施，依据生产和营销的统计数据发现，该企业每季度的最大生产能力为2万吨，且每生产x万吨化工原料，获得的纯利润y（百万元）近似地满足：y=（x+1）ln（x+1）．自2007年3月人民代表大会召开后，该企业认识到保护环境的重要性，决定投入资金进行的污染治理，计划用于治理污染的资金总费用为y₁=2px（百万元）（其中x为该工厂的生产量，p为环保指标参数，p∈（0，1]．
（I）试写出该企业进行污染治理后的利润函数f（x）；
（II）试问p控制在什么范围内，该企业开始进行污染治理的第一个季度，在最大生产能力的范围内始终不会出现亏损？

解：（I）由题意，该企业进行污染治理后的利润函数为f（x）=y-y₁=（x+1）ln（x+1）-2px．（x＞0）．…
（II）f′（x）=ln（x+1）+1-2p．
令f′（x）=0，得x=e^2p-1-1．
①当 $\text{[math]}$ ．
所以f（x）在[0，2]上为增函数，且f（x）≥f（0）=0．
即当0＜p≤ $\text{[math]}$ 时，对所有x∈（0，2]，都有（x+1）ln（x+1）≥2px．
②当2p＞1，即 $\text{[math]}$ ＜p＜1时，e^2p-1-1＞0．
则当x∈（0，e^2p-1-1）?（0，2]时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，e^2p-1）上为减函数，且f（x）＜f（0）=0
则（x+1）ln（x+1）＜2px．
综合可知，当0＜p≤ $\text{[math]}$ 时，生产的第一季度始终不会出现亏损现象．
分析：（I）由题意，该企业进行污染治理后的利润函数为f（x）=y-y₁，由此可得函数解析式；
（II）求导函数，确定函数的单调性，即可得到结论．
点评：本题考查函数的模型的建立，考查导数知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．

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已知奇函数f（x）在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分．
（1）补全函数f（x）的图象并写出函数f（x）的表达式；
（2）写出函数f（x）的单调区间；
（3）若方程f（x）=a有三个不同的根，求实数a的取值范围．

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求f（x）的定义域与值域（用区间表示）（2）求证f（x）在 $数学公式$ 上递减．

若函数f（x）在R上是减函数，那么f（2x-x²）的单调递增区间是 ________

已知f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，满足f（-1）=-2，且对一切实数，都有f（x）≥2x；
（1）求a，b；　
（2）在（1）的条件下，求f（x）的最小值．

已知集合Ω={（x，y）|x²+y²≤2009}，若点P（x，y）、点P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称点P优于P′．如果集合Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，则所有这样的点Q构成的集合为________．

已知两个实数集 $数学公式$ ，若B中恰有一元素没有原象且f（a₁）≥f（a₂）≥f（a₃）≥f（a₄）≥f（a₅），则这样的映射共有________个．

当a满足什么条件时集合A={x|x∈R|ax²+2x+1=0，a∈R }分别是：空集；只有一个元素；有两个元素？

试题分类

已知奇函数f（x）在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分．（1）补全函数f（x）的图象并写出函数f（x）的表达式；（2）写出函数f（x）的单调区间；（3）若方程f（x）=a有三个不同的根，求实数a的取值范围．

已知函数．（1）求f（x）的定义域与值域（用区间表示） （2）求证f（x）在上递减．

若函数f（x）在R上是减函数，那么f（2x-x2）的单调递增区间是 ________

已知f（x）=x2+（lga+2）x+lgb，满足f（-1）=-2，且对一切实数，都有f（x）≥2x；（1）求a，b； （2）在（1）的条件下，求f（x）的最小值．

已知集合Ω={（x，y）|x2+y2≤2009}，若点P（x，y）、点P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称点P优于P′．如果集合Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，则所有这样的点Q构成的集合为________．

已知两个实数集，若B中恰有一元素没有原象且f（a1）≥f（a2）≥f（a3）≥f（a4）≥f（a5），则这样的映射共有________个．

当a满足什么条件时集合A={x|x∈R|ax2+2x+1=0，a∈R }分别是：空集；只有一个元素；有两个元素？