Question

设函数f(x)=

1-a

2

x2+ax-lnx(a∈R)．
（Ⅰ） 当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）若对任意a∈（2，3）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a∈（2，3）时，f（x）在[1，2]上单调递减，从而|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（2），进而可得ma+ln2＞

a

2

-

3

2

+ln2，由此可得实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=(1-a)x+a-

1

x

=

(1-a)x2+ax-1

x

=

[(1-a)x+1](x-1)

x

=

(1-a)(x- 1 a-1 )(x-1)

x

…（5分）
当

1

a-1

=1，即a=2时，f′(x)=-

(x-1)2

x

≤0，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当

1

a-1

＜1，即a＞2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜

1

a-1

或x＞1；
令f′（x）＞0，得

1

a-1

＜x＜1．
当

1

a-1

＞1，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞

1

a-1

；
令f′（x）＞0，得1＜x＜

1

a-1

．…（7分）
综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；
当a＞2时，f（x）在(0，

1

a-1

)和（1，+∞）单调递减，在(

1

a-1

，1)上单调递增；
当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和(

1

a-1

，+∞)单调递减，在(1，

1

a-1

)上单调递…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a∈（2，3）时，f（x）在[1，2]上单调递减，
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值．
∴|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(2)=

a

2

-

3

2

+ln2
∴ma+ln2＞

a

2

-

3

2

+ln2（10分）
而a＞0经整理得m＞

1

2

-

3

2a

由2＜a＜3得-

1

4

＜

1

2

-

3

2a

＜0，所以m≥0．（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．