Question

已知

m

=（

3

5

，-

4

5

），

n

=（cosα，sinα），|3

m

-2

n

|=3，求：
（1）|3

m

+

n

|的值；
（2）向量

a

=3

m

-2

n

与

b

=3

m

+

n

的夹角θ的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得|

m

|=1，|

n

|=1由|3

m

-2

n

|=3．两边同时平方，结合已知|

m

|=1，|

n

|=1可求

m

•

n

=

1

3

，根据向量的数量积的性质可求
（2）可先求

a

•

b

=(3

m

-2

n

)•(3

m

+

n

)=9

m

2-3

m

•

n

-2

n

2，代入夹角公式cosθ=

a • b

| a || b |

即可

解答：解：（1）由题意可得|

m

|=1，|

n

|=1
由|3

m

-2

n

|=3
得|3

m

-2

n

|²=9，∴9

m

²-12

m

•

n

+4

n

²=9．则

m

•

n

=

1

3

∴|3

m

+

n

|2=9

m

2+6

m

•

n

+

n

2=12
∴|3

m

+

n

|=2

3

（2）∵

a

•

b

=(3

m

-2

n

)•(3

m

+

n

)=9

m

2-3

m

•

n

-2

n

2=6
∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

6

2 3 ×3

=

3

3

点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的应用，向量的夹角公式的应用，属于基础试题