Question

已知椭圆C₁：＝1，抛物线C₂：(y－m)²＝2px(p＞0)，且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点．

(1)当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

(2)是否存在m、p的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称． 　　所以m＝0，直线AB的方程为x＝1，从而点A的坐标为(1，)或(1，)． 　　因为点A在抛物线上，所以＝2p，即p＝． 　　此时C2的焦点坐标为(，0)，该焦点不在直线AB上． 　　(2)解法一：假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上， 　　由(1)知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为y＝k(x－1)． 　　由． 　　消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0　　① 　　设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 　　则x1、x2是方程①的两根，x1＋x2＝． 　　由 　　消去y得(kx－k－m)2＝2px　　② 　　因为C2的焦点(，m)在y＝k(x－1)上， 　　所以m＝k(－1)，即m＋k＝． 　　代入②有(kx－)2＝2px， 　　即k2x2－p(k2＋2)x＋＝0　　③ 　　由于x1、x2也是方程③的两根， 　　所以x1＋x2＝． 　　从而＝，p＝　　④ 　　又AB过C1、C2的焦点， 　　所以|AB|＝(x1＋)＋(x2＋) 　　＝x1＋x2＋p＝(2－x1)＋(2－x2)． 　　则p＝4－(x1＋x2)＝4－．⑤ 　　由④⑤得＝， 　　即k4－5k2－6＝0．解得k2＝6． 　　于是k＝，p＝． 　　因为C2的焦点(，m)在直线y＝(x－1)上，所以m＝(－1)，即m＝或m＝． 　　由上，知满足条件的m、p存在，且m＝或m＝，p＝． 　　解法二：设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 　　因为AB既过C1的右焦点F(1，0)，又过C2的焦点(，m)， 　　所以|AB|＝(x1＋)＋(x2＋) 　　＝x1＋x2＋p＝(2－x1)＋(2－x2)． 　　即x1＋x2＝(4－p)．① 　　由(1)知x1≠x2，p≠2， 　　于是直线AB的斜率k＝．② 　　且直线AB的方程是y＝(x－1)． 　　所以y1＋y2＝(x1＋x2－2)＝．③ 　　又因为 　　所以3(x1＋x2)＋4(y1＋y2)·＝0．④ 　　将①②③代入④得m2＝．⑤ 　　因为 　　所以y1＋y2－2m＝2p．⑥ 　　将②③代入⑥得m2＝，⑦ 　　由⑤⑦得， 　　即3p2＋20p－32＝0． 　　解得p＝或p＝－8(舍去)． 　　将p＝代入⑤得m2＝． 　　所以m＝或m＝． 　　由上，知满足条件的m、p存在，且m＝或m＝，p＝．