Question

下列函数在定义域上，既是奇函数又是减函数的是（　　）

• A．y=

  x(1-x)

  1-x

• B．y=

  1

  x

• C．y=-x³
• D．y=

  3x-3-x

  2

Answer 1

分析：对于选项A，定义域为{x|x≠1}不关于原点对称故A不对；
对于选项B：y=

1

x

是一个反比例函数，其在定义域内是奇函数，但在整个定义域内不是单调函数，B不对；
对于选项C：因为函数的定义域为R关于原点对称，并且f（-x）=-（-x）³=x³=-f（x），又f′（x）=-3x²≤0，所以函数在定义域内即是减函数又是奇函数．C对；
对于选项D：结合f（0）=0，f（1）=

4

3

，即可得D不对．

解答：解：对于选项A，因为函数的定义域为{x|x≠1}不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，所以A错误．
对于B：y=

1

x

是一个反比例函数，其在定义域内是奇函数，但在整个定义域内不是单调函数，故B不对；
对于C：因为函数的定义域为R关于原点对称，并且f（-x）=-（-x）³=x³=-f（x），又f′（x）=-3x²≤0，所以函数在定义域内即是减函数又是奇函数．C对；
对于D：因为f（0）=0，f（1）=

4

3

，不满足减函数的定义，故D不对．
故选：C．

点评：本题考点是函数单调性的判断与证明，考查基本函数单调性的判断与其奇偶性的判断，函数奇偶性与单调性是函数的两个非常重要的性质，奇函数的图象关于原点成中心对称图象，偶函数的图象关于y轴成中心对称图形，具有奇偶性的函数在对称的区间上奇函数的单调性相同，而偶函数在对称区间上相反，熟练掌握这些知识，可以迅速准确地做出正确判断．