Question

（本题共12分）

已知函数，其中且。

    (Ⅰ)讨论的单调性；

(Ⅱ)求函数在〔，〕上的最小值和最大值。

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)函数在上单调递减，在上单调递增。

(Ⅱ)当时，在上的最小值为，最大值为；

当时，在上的最小值为，最大值为。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）主要是对于，∴ ，参数a分类讨论得到函数的单调区间。

（2）由(Ⅰ)知在单调递减，在在单调递增

当时，取得最小值

，然后比较大小，构造函数来完成得到结论。

解：(Ⅰ) ，∴ 。

         ① 当时，，由可得；由可得

在上单调递减，在上单调递增。

②当时，，由可得；由可得

在上单调递减，在上单调递增。

综上可得，函数在上单调递减，在上单调递增。………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在单调递减，在在单调递增

当时，取得最小值

……………………………………………………6分

 ，

设 ，则。

∵（当且仅当时）∴在上单调递增．

又∵，

∴①当时，，即，

这时，在上的最大值为；

②当时， ，即

这时，在上的最大值为。

综上，当时，在上的最小值为，最大值为；

当时，在上的最小值为，最大值为…………12分