Question

（本题共12分）

已知函数，其中且。

(Ⅰ)讨论的单调性；

(Ⅱ)求函数在〔，〕上的最小值和最大值。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)函数在上单调递减，在上单调递增；

(Ⅱ) 当时，在上的最小值为，最大值为；

当时，在上的最小值为，最大值为

【解析】本试题主要考查了导数研究函数的最值问题的运用。

（1）因为函数，其中且，求解导数得到，然后对于参数a的范围结合对数值来分类讨论得到结论。

（2）在第一问的基础上，在单调递减，在在单调递增

当时，取得最小值

，进而作差比较大小，得到关于a的函数，结合导数求解得到。

解：(Ⅰ) ，∴ 。

① 当时，，由可得；由可得

在上单调递减，在上单调递增。

②当时，，由可得；由可得

在上单调递减，在上单调递增。

综上可得，函数在上单调递减，在上单调递增。………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在单调递减，在在单调递增

当时，取得最小值

……………………………………………………6分

 ，

设 ，则 。

∵（当且仅当时）∴在上单调递增．

又∵，

∴①当时，，即，

这时，在上的最大值为；

②当时，，即

这时，在上的最大值为。

综上，当时，在上的最小值为，最大值为；

当时，在上的最小值为，最大值为…………12分