Question

6．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD=2，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求证：PD∥平面EAC；
（2）求直线PD与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，取CD中点F，以AF为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD∥平面EAC．
（2）求出$\overrightarrow{PD}$和平面PAB的法向量，利用向量法能求出直线PD与平面PAB所成角的正弦值．

解答 （1）证明：以A为原点，取CD中点F，以AF为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则由题意P（0，0，1），D（1，-1，0），A（0，0，0），
B（0，1，0），E（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），C（1，1，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{AC}$（1，1，0），$\overrightarrow{PD}$=（1，-1，-1），
设平面EAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∵$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}$=1+1-2=0，PD?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．
（2）解：设直线PD与平面PAB所成角为θ，
∵$\overrightarrow{PD}$=（1，-1，-1），平面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PD}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线PD与平面PAB所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查直线所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．