Question

（2012•眉山二模）已知数列{a_n}中a₁=3，a₂=5，其前n项和满足：S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．
（1）试求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

2n-1

an•an+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，证明：T_n＜

1

6

；
（3）证明：对任意的m∈（0，

1

6

），均存在n₀∈N^*，使得（2）中的T_n＞m成立．

Answer 1

分析：（1）由S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）得a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂，即可求得结论；
（2）b_n=

2n-1

an•an+1

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)，从而可求T_n，即可证得结论；
（3）由（2）可知T_n=

1

2

(

1

3

-

1

2n+1+1

)，若T_n＞m，则得

1

2

(

1

3

-

1

2n+1+1

)＞m，化简得

1-6m

3

＞

1

2n+1+1

，根据m∈（0，

1

6

），可得n＞log2(

3

1-6m

-1)-1，分类讨论，即可求得结论．

解答：（1）解：由S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）得S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
∴a_n=a_n-1+2^n-1
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂=2^n-1+2^n-2+…+2²+5=2ⁿ+1（n≥3）
检验知n=1、2时，结论也成立，故a_n=2ⁿ+1；
（2）证明：∵b_n=

2n-1

an•an+1

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+…+(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)]=

1

2

(

1

3

-

1

2n+1+1

)＜

1

6

（3）证明：由（2）可知T_n=

1

2

(

1

3

-

1

2n+1+1

)，
若T_n＞m，则得

1

2

(

1

3

-

1

2n+1+1

)＞m，化简得

1-6m

3

＞

1

2n+1+1

．
∵m∈（0，

1

6

），∴1-6m＞0，∴2n+1＞

3

1-6m

-1，∴n＞log2(

3

1-6m

-1)-1，
当log2(

3

1-6m

-1)-1＜1，即0＜m＜

1

15

时，取n₀=1即可，
当log2(

3

1-6m

-1)-1≥1，即

1

15

≤m＜

1

6

时，则记log2(

3

1-6m

-1)-1的整数部分为S，取n₀=S+1即可，
综上可知：对任意的m∈（0，

1

6

），均存在n₀∈N^*，使得（2）中的T_n＞m成立．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，解题的关键是累加法求通项，裂项相消法求和，属于中档题．