Question

【题目】已知椭圆E： （a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为 ，过点M （m，0）（m＞ ）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（ ，0），且 为定值．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），
∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，
又椭圆E的离心率为 ，得a= ，于是有b2=a2﹣c2=1．
故椭圆Γ的标准方程为： ．
（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线l的方程为：x=ty+m，
由 整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0
，
， =
=（t2+1）y1y2+（tm﹣ t）（y1+y2）+m2﹣ = ．
要使 为定值，则 ，解得m=1或m= （舍）
当m=1时，|AB|= |y1﹣y2|= ，
点O到直线AB的距离d= ，
△OAB面积s= = ．
∴当t=0，△OAB面积的最大值为
【解析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线l的方程为：x=ty+m，由 整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由 为定值，解得m，|AB|= |y1﹣y2|= ，点O到直线AB的距离d= ，△OAB面积s= 即可求得最值
【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．