Question

【题目】已知定义在区间上的函数，

(1)判定函数在的单调性,并用定义证明；

(2)设方程有四个不相等的实根．

①证明：；

②在是否存在实数，使得函数在区间单调，且的取值范围为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 在上单调递增.证明见解析； (2) ①见证明；②存在，的取值范围为

【解析】

(1)先判断后按照定义法证明单调性的步骤进行证明即可;

(2) ①根据绝对值的性质，原方程可以转化为：或，利用一元二次方程根与系数的关系，可以证明出；

②画出函数的简图，结合①可以确定的取值范围，结合图象可以确定函数的单调性，这样可以进行分类讨论，利用构造新函数、代数式的恒等变形、二次函数的单调性，结合已知函数在区间单调，且的取值范围为，最后可以求出的取值范围.

(1)在上单调递增.

证明:任取,，且.

∵

其中，，，

∴

∴在上单调递增.

(2)①或

即或

∵为方程的四个不相等的实根

∴由根与系数的关系得

②如图，

可知，在区间、上均为单调函数

(i)当时，在上单调递增

则,即,在有两个不等实根

而令,则

由二次函数的单调性，可得，

(ii)当时，在上单调递减

则,两式相除整理得

∴,∴,∴

由,得

∴

综上，的取值范围为