题目内容
【题目】设椭圆
： 
的离心率与双曲线
的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若直线
交椭圆
于
， 
两点， 
（
）为椭圆
上一点，求
面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率
与双曲线的离心率
互为倒数，椭圆的长轴
为
及
，求得
的值，进而求得椭圆的方程；（Ⅱ）将直线
与（Ⅰ）求得的椭圆方程联立，利用韦达定理和
，利用弦长公式及点
到直线
的距离，求得
的面积，同时
，进而求得
的面积的最大值.
试题解析：（Ⅰ）双曲线的离心率为
（1分），
则椭圆的离心率为
（2分）， 2a=4， （3分）
由
，故椭圆M的方程为
． （5分）
（Ⅱ）由
，得
， （6分）
由
，得﹣2
＜m＜2
∵
． （7分）
∴
=
（9分）
又P到AB的距离为
． （10分）
则
， （12分）
当且仅当
取等号 （13分）
∴
． （14分）
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