已知抛物线y2=4$\sqrt{2}$x的焦点为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的右焦点.且椭圆的长轴长为4.左右顶点分别为A.B．经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C.D两点．(Ⅰ)求椭圆标准方程,(Ⅱ)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2.且|S1-S2|=2.求直线l的方程,(Ⅲ)若M(x1.y1).N(x2.y2)是椭圆上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知抛物线y²=4$\sqrt{2}$x的焦点为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B．经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C、D两点．
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S₁和S₂，且|S₁-S₂|=2，求直线l的方程；
（Ⅲ）若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是椭圆上的两动点，且满足x₁x₂+2y₁y₂=0，动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{ON}$（其中O为坐标原点），求动点P的轨迹方程．

分析（Ⅰ）通过抛物线的焦点，求出椭圆中的c，椭圆的长轴为4得a，然后求解椭圆的标准方程．
（Ⅱ）方法一：设直线l：$x=my-\sqrt{2}$，代入椭圆方程，设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），通过面积关系求出m，然后求解直线方程．
方法二：当直线l斜率不存在时，推出△ABD，△ABC面积相等，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为$y=k（x+\sqrt{2}）（k≠0）$，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）和椭圆方程联立，通过|S₁-S₂|=|2||y₂|-|y₁|求出$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得到直线方程．
（Ⅲ）设P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{ON}$，结合x₁x₂+2y₁y₂=0…②，M，N是椭圆上的点，推出${{x}_{p}}^{2}+2{{y}_{p}}^{2}=20$，可得点P的轨迹方程．

解答解：（Ⅰ）由题设可知：因为抛物线y²=4$\sqrt{2}$x的焦点为（$\sqrt{2}$，0），椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点，可得c=$\sqrt{2}$，且椭圆的长轴长为4，所以椭圆中的a=2，∴b=$\sqrt{2}$．
故椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（Ⅱ）方法一：设直线l：$x=my-\sqrt{2}$，$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1\\ x=my-\sqrt{2}\end{array}\right.$，
$x=my-\sqrt{2}$代入椭圆方程得$（{{m^2}+2}）{y^2}-2\sqrt{2}my-2=0$，
设C（x₁，y₁）D（x₂，y₂），A（-2，0）B（2，0）${y_1}+{y_2}=\frac{{2\sqrt{2}m}}{{{m^2}+2}}$
于是$|{{S_1}-{S_2}}|=\frac{1}{2}×4×|{|{y_1}|-|{y_2}|}|=2×|{{y_1}+{y_2}}|$=$2×\frac{{2\sqrt{2}|m|}}{{{m^2}+2}}=2$
所以$m=±\sqrt{2}$
故直线l的方程为$x±\sqrt{2}y+\sqrt{2}=0$
方法二：当直线l斜率不存在时，直线方程为$x=-\sqrt{2}$，
此时△ABD，△ABC面积相等，|S₁-S₂|=0
当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为$y=k（x+\sqrt{2}）（k≠0）$
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
和椭圆方程联立得到$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\\{y=k（x+\sqrt{2}）}\end{array}}\right.$，消掉y得$（1+2{k^2}）{x^2}+4\sqrt{2}{k^2}x+4{k^2}-4=0$
显然△＞0，方程有根，且${x_1}+{x_2}=\frac{{-4\sqrt{2}{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$
此时|S₁-S₂|=|2||y₂|-|y₁||=2|y₂+y₁|=$2|k（{x_1}+\sqrt{2}）+k（{x_2}+\sqrt{2}）|$
=$2|k（{x_1}+{x_2}）+2\sqrt{2}k|=\frac{{2\sqrt{2}|k|}}{{1+2{k^2}}}$
因为k≠0，上式$\frac{{2\sqrt{2}|k|}}{{1+2{k^2}}}=2$，
解得$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以直线方程为$x±\sqrt{2}y+\sqrt{2}=0$．
（Ⅲ）设P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{ON}$可得：
$\left\{\begin{array}{l}{x}_{P}={x}_{1}+{2x}_{2}\\{y}_{P}={y}_{1}+{2y}_{2}\end{array}\right.$…①，
x₁x₂+2y₁y₂=0…②，M，N是椭圆上的点，
故${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=4$，
${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=4$，
由①②可得：${{x}_{p}}^{2}+2{{y}_{p}}^{2}=（{{x}_{1}+{2x}_{2}）}^{2}+2（{y}_{1}+{2y}_{2}）^{2}$=${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}+4（{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}）$，
故${{x}_{p}}^{2}+2{{y}_{p}}^{2}=20$，即点P的轨迹方程是$\frac{{{x}_{p}}^{2}}{20}+\frac{{{y}_{p}}^{2}}{10}=1$．