Question

设数列{}的前n项和为，且方程有一根

为，

(1)  求，；

(2)  猜想数列{}的通项公式，并给出严格的证明．

Answer 1

解：(1)当n＝1时，有一根为＝－1，

于是(－1)²－(－1)－＝0，解得＝1/2.  

当n＝2时，有一根为＝，

于是(－1/2)²－(－1/2)－＝0，解得＝1/6 .

(2)由题设(－1)²－(－1)－＝0，

－2＋1－＝0    当n≥2时，＝－，

代入上式得－2＋1＝0.①.

由(1)得S₁＝＝1/2，＝＋＝1/2＋1/6＝2/3.

由①可得_s3＝3/4.由此猜想＝n/n＋1，n＝1,2,3，

下面用数学归纳法证明这个结论．(i)n＝1时已知结论成立．  

(ii)假设n＝k时结论成立，即＝k/k＋1，当n＝k＋1时，由①得＝12－Sk，

即＝k＋1/k＋2，故n＝k＋1时结论也成立

综上，由(i)、(ii)可知＝n/n＋1对所有正整数n都成立．.