Question

设M是△ABC内一点，且

AB

•

AC

=4

3

，∠BAC=30°，定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f(M)=(1，x，y)，则

1

x

+

4

y

的最小值（　　）

Answer 1

分析：利用数量积即可得出三角形ABC的面积和x与y的关系式，再利用基本不等式即可得出．

解答：解：∵

AB

•

AC

=4

3

，∠BAC=30°，
∴cbcos30°=4

3

，∴bc=8．
∴S_△ABC=

1

2

bcsin30°=2，
∴1+x+y=2，
∴x+y=1，
∴

1

x

+

4

y

=（x+y）（

1

x

+

4

y

）=5+

y

x

+

4x

y

≥5+2

y x • 4x y

=9，
当且仅当

y

x

=

4x

y

时，取等号，
∴

1

x

+

4

y

的最小值是9．
故选C．

点评：本题考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，熟练掌握三角形的面积计算公式、数量积运算和基本不等式是解题的关键．