Question

设M是△ABC内一点，且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f(P)=(

1

2

，x，y)则

1

x

+

4

y

的最小值（　　）

A．8

B．9

C．16

D．18

Answer 1

分析：利用数量积即可得出三角形ABC的面积和x与y的关系式，再利用基本不等式即可得出．

解答：解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，∴cbcos30°=2

3

，化为bc=4．
∴S△ABC=

1

2

bcsin30°=1．
∴f（P）=

1

2

+x+y=1，得x+y=

1

2

．（x＞0，y＞0）．
∴

1

x

+

4

y

=2(x+y)(

1

x

+

4

y

)=2(5+

y

x

+

4x

y

)≥2(5+2

y x • 4x y

)=18．当且仅当y=2x=

1

3

时取等号．
∴

1

x

+

4

y

的最小值为18．
故选D．

点评：熟练掌握三角形的面积计算公式、数量积运算和基本不等式是解题的关键．