Question

20．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，M为SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．   
（Ⅰ）求证：SB∥平面ACN；
（Ⅱ）求证：SC⊥平面AMN；
（Ⅲ）求AC与平面AMN所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD交AC于E，连接ME．利用正方形的性质、三角形的中位线定理可得：ME∥SB，再利用线面平行的判定定理即可证明．
（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理可得：DC⊥平面SAD，AM⊥DC，又AM⊥SD，可得AM⊥平面SDC，SC⊥AM，即可证明．
（Ⅲ）由线面垂直的性质可分析可得∠CAN为AC与平面AMN所成的角，则在Rt△SAC中，设SA=1，计算可得AC=$\sqrt{2}$，SC=$\sqrt{3}$，AN=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，进而由三角函数的定义可得cos∠CAN的值，即可得答案．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）证明：连结BD，交AC于点E，连结ME．
∵四边形ABCD是正方形，
∴E是BD的中点．
又M是SD的中点，
∴ME∥SB．  …（2分）
又ME?平面ACM，SB?平面ACM，
∴SB∥平面ACM．  …（4分）
（Ⅱ）∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥CD．
又CD⊥AD，SA∩AD=A，
∴CD⊥平面SAD． …（5分）
又AM?平面SAD，∴CD⊥AM．
由已知SA=AD，M是SD的中点，
∴SD⊥AM．   …（6分）
又SD∩CD=D，∴AM⊥平面SDC   …（7分）
∴AM⊥SC．   …（8分）
又AN⊥SC，AM∩AN=A，
∴SC⊥平面AMN．      …（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，SC⊥平面AMN，
∴∠CAN为AC与平面AMN所成的角．  …（11分）
在Rt△SAC中，设SA=1，则AC=$\sqrt{2}$，SC=$\sqrt{3}$，AN=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
在Rt△ACN中，cos∠CAN=$\frac{AN}{NC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AC与平面AMN所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．  …（13分）

点评 本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面角的求法，（Ⅲ）关键是依据线面垂直的性质得到∠CAN为AC与平面AMN所成的角．