Question

(2006北京海淀模拟)如下图，直三棱柱中，

，AC⊥CB．D、E分别为棱、的中点．

(1)求点B到平面的距离；

(2)求二面角的大小；

(3)在线段AC上是否存在一点F，使得EF上平面?若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵为直三棱柱， ∴⊥底面ABC，∴． ∵AC⊥CB，∴BC⊥平面． ∴BC长度即为B点到平面的距离． ∵BC=2，∴点B到平面的距离为2． (2)分别延长AC，交于G． 过C作于M，连结BM． ∵BC⊥平面，∴CM为BM在平面内的射影． ∴，∴∠CMB为二面角的平面角． 在平面中，，D为的中点，∴CG=2，DC=1． 在直角三角形CDG中， ∴，∴， 即二面角的大小为． (3)在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面 其位置为AC中点，证明如下： ∵为直三棱柱，∴． ∵由(1)BC⊥平面， ∴平面． ∵EF在平面内的射影为， ∵F为AC中点，∴．∴． 同理可证EF⊥BD，∴EF⊥平面． ∵E为定点，平面为定平面， ∴点F唯一．