题目内容

（理科）有120粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一：将120粒种子分种在40个坑内，每坑3粒；方案二：将120粒种子分种在60个坑内，每坑2粒．如果每粒种子发芽的概率为0.5，并且，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需1元；假定每个成活的坑可收获100粒试验种子．
（1）用ξ表示补种费用，分别求出两种方案的ξ的数学期望；
（2）用η表示收获试验种子粒数，分别求出两种方案的η的数学期望；
（3）由此你能推断出怎样的结论？

解：（1）方案一：一个坑内三粒种子都不发芽的概率为p₁=（0.5）³= $\text{[math]}$ ，由题意可得：ξ₁～B（40， $\text{[math]}$ ），
∴所求的数学期望为Eξ₁=40× $\text{[math]}$ =5元；
方案二：一个坑内两粒种子都不发芽的概率为p₂=（0.5）²= $\text{[math]}$ ，由题意可得：ξ₂～B（60， $\text{[math]}$ ），
∴所求的数学期望为Eξ₂=60× $\text{[math]}$ =15元；
（2）方案一：一个坑内种子成活的概率为q₁= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴所求的数学期望为Eη₁=100×40× $\text{[math]}$ =3987.5粒；
方案二：一个坑内种子成活的概率为q₂= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴所求的数学期望为Eη₂=100×60× $\text{[math]}$ =5625粒．
（3）方案一所需要的补种费用少，但是收益也较少；方案二所需要的补种费用较多，但是收益也较大．
分析：（1）方案一：由题意可得：ξ₁～B（40， $\text{[math]}$ ），根据二项分布的公式可得其期望，方案二：由题意可得：ξ₂～B（60， $\text{[math]}$ ），再根据二项分布的公式可得其期望．
（2）方案一：一个坑内种子成活的概率为 $\text{[math]}$ ，方案二：一个坑内种子成活的概率为 $\text{[math]}$ ，进而分布求出η的数学期望．
（3）方案一所需要的补种费用少，但是收益也较少；方案二所需要的补种费用较多，但是收益也较大．
点评：本题主要考查二项分布，以及离散型随机变量的期望，并且考查运用概率知识解决实际问题的能力，这也是高考命题的趋向，此题属于中档题．