题目内容
（2013•海口二模）2013年，首都北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月．经气象局统计，北京市从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气．《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》将空气质量指数分为六级：其中，中度污染（四级），指数为151-200；重度污染（五级），指数为201-300；严重污染（六级），指数大于300． 下面表1是该观测点记录的4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（千米）的情况，表2是某气象观测点记录的北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计结果，
表1：AQI指数M与当天的空气水平可见度y（千米）情况
表2：北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计
（Ⅰ）设变量x=
，根据表1的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）根据表2估计这30天AQI指数的平均值．
（用最小二乘法求线性回归方程系数公式b=
，a=
-b
）
表1：AQI指数M与当天的空气水平可见度y（千米）情况
| AQI指数 | 900 | 700 | 300 | 100 |
| 空气可见度 （千米） | 0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
| AQI指数 | [0，200] | （200，400] | （400，600] | （600，800] | （800，1000] |
| 频数 | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
| M |
| 100 |
（Ⅱ）根据表2估计这30天AQI指数的平均值．
（用最小二乘法求线性回归方程系数公式b=
| |||||||
|
. |
| y |
. |
| x |
分析：（Ⅰ）由x=
，可得x1=9，x2=7，x3=3，x4=1，由数据可求得b和a的值，可得回归方程；
（Ⅱ）分别可得各段的频率，由平均数的定义可得．
| M |
| 100 |
（Ⅱ）分别可得各段的频率，由平均数的定义可得．
解答：解：（Ⅰ）由x=
结合图表，可得x1=9，x2=7，x3=3，x4=1，
∴
=
（900+700+300+100）=5，
=
（0.5+3.5+6.5+9.5）=5，
∴
xiyi=9×0.5+7×3.5+3×6.5+1×9.5=58，
xi2=92+72+32+12=140，
∴b=
=-
，a=5-5（-
）=
∴y关于x的线性回归方程是y=-
x+
（Ⅱ）由表2知AQI指数的频率分别为
=0.1，
=0.2，
=0.4，
=0.2，
=0.1，
故这30天AQI指数的平均值为：100×0.1+300×0.2+500×0.4+700×0.2+900×0.1=500
| M |
| 100 |
∴
. |
| x |
| 1 |
| 4 |
. |
| y |
| 1 |
| 4 |
∴
| 4 |
 |
| i=1 |
| 4 |
|
| i=1 |
∴b=
| 58-4×5×5 |
| 140-4×52 |
| 21 |
| 20 |
| 21 |
| 20 |
| 41 |
| 4 |
∴y关于x的线性回归方程是y=-
| 21 |
| 20 |
| 41 |
| 4 |
（Ⅱ）由表2知AQI指数的频率分别为
| 3 |
| 30 |
| 6 |
| 30 |
| 12 |
| 30 |
| 6 |
| 30 |
| 3 |
| 30 |
故这30天AQI指数的平均值为：100×0.1+300×0.2+500×0.4+700×0.2+900×0.1=500
点评：本题考查线性回归方程和平均数的定义，计算能力是解决问题的关键，属中档题．
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