题目内容
已知a、b、ω是实数，函数f（x）=asinωx+bcosωx满足“图象关于点（
，0）对称，且在x=
处f（x）取最小值”．若函数f（x）的周期为T，则以下结论一定成立的是（ ）
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
分析：将f（x）=asinωx+bcosωx化为f（x）=
sin（ωx+φ），由题意可得
| a2+b2 |
解答：解：当a=0时，则函数f（x）=bcosωx，故函数在x=0时取得最值，
若函数在x=
处f（x）取最小值，则必在x=
处f（x）取最值，故A错误；
∵函数f（x）=asinωx+bcosωx的图象关于点（
，0）对称，且在x=
处f（x）取最小值，
∴
-
=
+k•
，即
=
+k•
当k≠0时，T≠
π，故C错误；
由于f（x）=asinωx+bcosωx=
sin（ωx+φ）
则sin(ω×
+φ)=-1，则ω×
+φ=2mπ-
(m∈Z) ①
sin(ω×
+φ)=0，则ω×
+φ=nπ(n∈Z) ②
故②-①得到ω×
=kπ+
(k∈Z)
∴ω=6k+3（k∈Z），故D错误；
故结论一定成立的是B
故答案为 B
若函数在x=
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∵函数f（x）=asinωx+bcosωx的图象关于点（
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| T |
| 4 |
| T |
| 2 |
| π |
| 6 |
| T |
| 4 |
| T |
| 2 |
当k≠0时，T≠
| 2 |
| 3 |
由于f（x）=asinωx+bcosωx=
| a2+b2 |
则sin(ω×
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
sin(ω×
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
故②-①得到ω×
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴ω=6k+3（k∈Z），故D错误；
故结论一定成立的是B
故答案为 B
点评：本题主要考查了利用辅助角公式把函数化简为同一个角的三角函数，本题解题的关键是函数的一个对称中心，代入可以求出ω的值，根据对称轴可以求出a，b相等的条件，本题是一个中档题目．
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