题目内容
设数列{an}的首项a1≠
，且an+1=
，记bn=a2n-1-
，n=1，2，3…（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）求
（b1+b2+…+bn）
【答案】分析：（I）根据题设条件，分别令n=1，2，能够求出a2和a3．
（II）由a4=a3+
=
a+
，知a5=
a4=
a+
，所以b1=a1-
=a-
，b2=a3-
=
（a-
），b3=a5-
=
（a-
），猜想：{bn}是公比为
的等比数列．再用题设条件进行证明．
（III）
（b1+b2+…+bn）=
=
，由此能求出其结果．
解答：解：（I）a2=a1+
=a+
，a3=
a2=
a+
；
（II）∵a4=a3+
=
a+
，所以a5=
a4=
a+
，
所以b1=a1-
=a-
，b2=a3-
=
（a-
），b3=a5-
=
（a-
），
猜想：{bn}是公比为
的等比数列•
证明如下：
因为bn+1=a2n+1-
=
a2n-
=
（a2n-1-
）=
bn，（n∈N*）
所以{bn}是首项为a-
，公比为
的等比数列．
（III）
（b1+b2+…+bn）=
=
=2（a-
）．
点评：本题考查数列的极限和运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．
（II）由a4=a3+
=
a+
，知a5=
a4=
a+
，所以b1=a1-
=a-
，b2=a3-
=
（a-
），b3=a5-
=
（a-
），猜想：{bn}是公比为
的等比数列．再用题设条件进行证明．（III）
（b1+b2+…+bn）=
=
，由此能求出其结果．解答：解：（I）a2=a1+
=a+
，a3=
a2=
a+
；（II）∵a4=a3+
=
a+
，所以a5=
a4=
a+
，所以b1=a1-
=a-
，b2=a3-
=
（a-
），b3=a5-
=
（a-
），猜想：{bn}是公比为
的等比数列•证明如下：
因为bn+1=a2n+1-
=
a2n-
=
（a2n-1-
）=
bn，（n∈N*）所以{bn}是首项为a-
，公比为
的等比数列．（III）
（b1+b2+…+bn）=
=
=2（a-
）．点评：本题考查数列的极限和运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．
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